1) Метод подстановки.
- a) Метод прямой подстановки.
Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной подставляется в оставшиеся уравнения системы.
- b) Комбинирование с другими методами.
Идея метода. Если метод прямой подстановки не применим на начальном этапе решения, то используются равносильные преобразования систем (почленное сложение, вычитание, умножение, деление), а затем проводят непосредственно прямую подстановку.
2) Метод независимого решения одного из уравнений.
Идея метода. Если в системе содержится уравнение, в котором находятся взаимно обратные выражения, то вводится новая переменная и относительно её решается уравнение. Затем система распадается на несколько более простых систем.
Решить систему уравнений
Рассмотрим первое уравнение системы:
Сделав замену 
, где t ≠ 0, получаем 
Откуда t1 = 4, t2 = 1/4.
Возвращаясь к старым переменным, рассмотрим два случая.
Корнями уравнения 4у2 – 15у – 4 = 0 являются у1 = 4, у2 = — 1/4 .
Корнями уравнения 4х2 + 15х – 4 = 0 являются х1 = — 4, х2 = 1/4 .
3)Сведение системы к объединению более простых систем.
- a) Разложение на множители способом вынесения общего множителя.
Идея метода. Если в одном из уравнений есть общий множитель, то это уравнение раскладывают на множители и, учитывая равенство выражения нулю, переходят к решению более простых систем.
- b) Разложение на множители через решение однородного уравнения.
Идея метода. Если одно из уравнений представляет собой однородное уравнение ( , то решив его относительно одной из переменных, раскладываем на множители, например: a(x-x1)(x-x2) и, учитывая равенство выражения нулю, переходим к решению более простых систем.
Решим первую систему 
- c) Использование однородности.
Идея метода. Если в системе есть выражение, представляющее собой произведение переменных величин, то применяя метод алгебраического сложения, получают однородное уравнение, а затем используют метод разложение на множители через решение однородного уравнения.
4) Метод алгебраического сложения.
Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из неизвестных, для этого уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или почленное сложение уравнений, или вычитание.
5) Метод умножения уравнений.
Идея метода. Если нет таких пар (х;у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить произведением обоих уравнений системы.
Решим второе уравнение системы.
Пусть 
= t, тогда 4t3 + t2 -12t -12 = 0. Применяя следствие из теоремы о корнях многочлена, имеем t1 = 2.
Р(2) = 4∙23 + 22 — 12∙2 – 12 = 32 + 4 — 24 — 12 = 0. Понизим степень многочлена, используя метод неопределенных коэффициентов.
4t3 + t2 -12t -12 = (t – 2) (at2 + bt + c).
4t3 +t2 -12t -12 = at3 + bt2 + ct — 2at2 -2bt — 2c.
4t3 + t2 — 12t -12 = at3 + (b – 2a) t2 + (c -2b) t — 2c.
Получаем уравнение 4t2 + 9t + 6 = 0, которое не имеет корней, так как D = 92— 4∙4∙6 = -15<0.
Возвращаясь к переменной у, имеем = 2, откуда у = 4. 
Ответ. (1;4).
6) Метод деления уравнений.
Идея метода. Если нет таких пар (х; у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить уравнением, которое получается при делении одного уравнения системы на другое.
7) Метод введения новых переменных.
Идея метода. Некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, что приводит к более простой, чем первоначальная, системе от этих переменных. После того как новые переменные будут найдены, нужно найти значения исходных переменных.
Возвращаясь к старым переменным, имеем:
Решаем первую систему.
8) Применение теоремы Виета.
Идея метода. Если система составлена так, одно из уравнений представлено в виде суммы, а второе — в виде произведения некоторых чисел, которые являются корнями некоторого квадратного уравнения, то применяя теорему Виета составляем квадратное уравнение и решаем его.
Ответ. (1;4), (4;1).
Для решения симметричных систем применяется подстановка: х + у = а; ху = в. При решении симметричных систем используются следующие преобразования:
х2 + у2 = (х + у)2 – 2ху = а2 – 2в; х3 + у3 = (х + у)(х2 – ху + у2) = а(а2 -3в);
х2у + ху2 = ху (х + у) = ав; (х +1)∙(у +1) = ху +х +у+1 =а + в +1;
Ответ. (1;1), (1;2), (2;1).
10) «Граничные задачи».
Идея метода. Решение системы получаются путем логических рассуждений, связанных со структурой области определения или множества значений функций, исследование знака дискриминанта квадратного уравнения.
Особенность этой системы в том, что число переменных в ней больше числа уравнений. Для нелинейных систем такая особенность часто является признаком «граничной задачи». Исходя из вида уравнений, попытаемся найти множество значений функции , которая встречается и в первом, и во втором уравнении системы. Так как х2 + 4 ≥ 4, то из первого уравнения следует, что
Ответ (0;4;4), (0;-4;-4).
11) Графический метод.
Идея метода. Строят графики функций в одной системе координат и находят координаты точек их пересечения.
1) Переписав первое уравнение систем в виде у = х2, приходим к выводу: графиком уравнения является парабола.
2) Переписав второе уравнение систем в виде у =2/х2 , приходим к выводу: графиком уравнения является гипербола.
3) Парабола и гипербола пересекаются в точке А. Точка пересечения только одна, поскольку правая ветвь параболы служит графиком возрастающей функции, а правая ветвь гиперболы — убывающей. Судя по построенной геометрической модели точка А имеет координаты (1;2). Проверка показывает, что пара (1;2) является решением обоих уравнений системы.
Ответ (1;2).
