1. a) Метод прямой подстановки.

Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной подставляется в оставшиеся уравнения системы.

1. b) Комбинирование с другими методами.

Идея метода. Если метод прямой подстановки не применим на начальном этапе решения, то используются равносильные преобразования систем (почленное сложение, вычитание,   умножение, деление), а затем проводят непосредственно прямую подстановку.

2) Метод независимого решения одного из уравнений.

Идея метода. Если в системе содержится уравнение, в котором находятся взаимно обратные выражения, то вводится новая переменная и относительно её решается уравнение. Затем система распадается на несколько более простых систем.

Решить систему уравнений

Рассмотрим первое уравнение системы:

Сделав замену    , где  t ≠ 0, получаем  

Откуда t₁ = 4, t₂ = 1/4.

Возвращаясь к старым переменным, рассмотрим два случая.

Корнями уравнения  4у² – 15у – 4 = 0   являются   у₁ = 4, у₂ = — 1/4 .

Корнями уравнения   4х² + 15х – 4 = 0 являются  х₁ = — 4, х₂ =   1/4 .

3)Сведение системы  к объединению более простых систем.

1. a) Разложение на множители способом вынесения общего множителя.

Идея метода. Если в одном из уравнений есть общий множитель, то это уравнение раскладывают на множители и, учитывая равенство выражения нулю,  переходят к решению более простых систем.

1. b) Разложение на множители через решение однородного уравнения.

Идея метода. Если  одно из уравнений представляет собой однородное уравнение ( , то решив его относительно одной из переменных, раскладываем на множители, например:  a(x-x₁)(x-x₂) и, учитывая равенство выражения нулю,  переходим к решению более простых систем.

Решим первую систему   

1. c) Использование однородности.

Идея метода. Если в системе есть выражение, представляющее собой произведение переменных величин, то  применяя метод алгебраического сложения, получают однородное уравнение, а затем используют метод разложение на множители через решение однородного уравнения.

4) Метод алгебраического сложения.

Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из неизвестных, для этого уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или почленное сложение уравнений, или вычитание.

5) Метод умножения уравнений.

Идея метода. Если нет таких пар (х;у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить произведением обоих уравнений системы.

Решим второе уравнение системы.

Пусть  = t, тогда  4t³ + t² -12t -12 = 0.  Применяя следствие из теоремы о корнях многочлена, имеем t₁ = 2.

Р(2) = 4∙2³ + 2² — 12∙2 – 12 = 32 + 4 — 24 — 12 = 0. Понизим степень многочлена, используя метод неопределенных коэффициентов.

4t³ + t² -12t -12 = (t – 2) (at² + bt + c).

4t³ +t² -12t -12 = at³ + bt² + ct — 2at² -2bt — 2c.

4t³ + t² — 12t -12 = at³ + (b – 2a) t² + (c -2b) t — 2c.

Получаем уравнение 4t² + 9t + 6 = 0, которое не имеет корней, так как D = 9²— 4∙4∙6 = -15<0.

Возвращаясь к переменной у, имеем  = 2, откуда у = 4.    

Ответ. (1;4).

6) Метод деления уравнений.

 Идея метода. Если нет таких пар (х; у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить уравнением, которое получается при делении одного уравнения системы на другое.

7) Метод введения новых переменных.

 Идея метода. Некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, что приводит к более простой, чем первоначальная, системе от этих переменных. После того как новые переменные будут найдены, нужно найти значения исходных переменных.

Возвращаясь к старым переменным, имеем:

Решаем первую систему.

8) Применение теоремы Виета.

Идея метода. Если система составлена так, одно из уравнений представлено в виде суммы, а второе — в виде произведения некоторых чисел, которые являются корнями некоторого квадратного уравнения, то применяя теорему Виета составляем квадратное уравнение и решаем его.

Ответ.  (1;4),   (4;1).

Для решения симметричных систем применяется подстановка: х + у = а; ху = в.  При решении симметричных систем используются следующие преобразования:

х² + у² = (х + у)² – 2ху = а² – 2в;      х³ + у³ = (х + у)(х² – ху + у²) = а(а² -3в);

х²у + ху² = ху (х + у) = ав;        (х +1)∙(у +1) = ху +х +у+1 =а + в +1;

Ответ.  (1;1), (1;2), (2;1).

10) «Граничные задачи».

Идея метода. Решение системы получаются путем логических рассуждений, связанных со структурой области определения или множества значений функций, исследование знака дискриминанта квадратного уравнения.

Особенность этой системы в том, что число переменных в ней больше числа уравнений. Для нелинейных систем такая особенность часто является признаком «граничной задачи». Исходя из вида уравнений, попытаемся найти множество значений функции , которая встречается и в первом, и во втором уравнении системы. Так как  х² + 4 ≥ 4, то из первого уравнения следует, что

Ответ (0;4;4),  (0;-4;-4).

11) Графический метод.

Идея метода. Строят графики функций в одной системе координат и находят координаты точек их пересечения.

1) Переписав первое уравнение систем в виде у = х²,  приходим к выводу: графиком уравнения является парабола.

2) Переписав второе уравнение систем в виде у =2/х² , приходим к выводу: графиком уравнения является гипербола.

3) Парабола и гипербола пересекаются в точке А. Точка пересечения только одна, поскольку правая ветвь параболы служит графиком возрастающей функции, а правая ветвь гиперболы — убывающей. Судя по построенной геометрической модели  точка А имеет координаты (1;2). Проверка показывает, что пара (1;2) является решением обоих уравнений системы.

Ответ (1;2).

The post Методы решения систем нелинейных уравнений. Алгебра appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Для треугольника всегда существует одна и только одна вписанная (касающаяся трёх сторон) и одна описанная (проходящая через вершины) окружность. Также для треугольника существуют три окружности, касающихся одной стороны и продолжений двух других сторон — вневписанные окружности.

Ниже представлены  формулы для нахождения площади треугольника.

The post Формулы площади треугольника appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность.

Определение :

Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Способы задания функции:

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);
2. табличный способ (с помощью таблицы);
3. описательный способ (с помощью словесного описания);
4. графический способ (с помощью графика).

The post Алгебра — основные свойства функций appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Решение.

Так как всего 3 прыгуна из Голландии, а всего спортсменов 30, то вероятность того, что прыгун из этой страны будет выступать под каким-либо номером, в том числе и под восьмым, равна

.

Ответ: 0,1.

Задание 5. Найдите корень уравнения .

Решение.

1. Запишем ОДЗ уравнения, очевидно, что

2. Для решения уравнения, возведем обе его части в квадрат, получим:

Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

The post И.В. Ященко.Математика ЕГЭ 2017. 36 вариантов.Вариант 1. Задания 4-5. Решение appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Решение.

Известны значения счетчика на первое мая и первое июня, следовательно, расход электроэнергии за май составил

37 292 — 37 192 = 100 кВт • ч.

Так как стоимость одного кВт • ч равна 4,17 рубля, то затраты на электроэнергию за май, равны

4,17•100=417 рублей.

Ответ: 417.

Задание 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по приведённой диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с января по июнь 1994 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.

Наименьшая среднемесячная температура будет соответствовать столбику наименьшей высоты (так как температура откладывается по вертикали). Чтобы определить наименьшую температуру с января по июнь, нужно найти наименьший столбик в этом диапазоне месяцев. Из рисунка видно, что в указанном диапазоне, минимальная среднемесячная температура приходится на февраль и равна середине интервала от -12 до -16, то есть (-12-16):2=-14 градусов.

Ответ: -14.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение.

Вычислим площадь треугольника по формуле , где a – длина основания (синяя линия) треугольника, на которое проведена высота; h – высота треугольника (красная линия).

Из рисунка видно, что длина основания равна a=2 клетки, а высота h=6 клеток. Подставляя эти значения в формулу площади треугольника, имеем:

.

Ответ: 6.

The post И.В. Ященко.Математика ЕГЭ 2017. 36 вариантов.Вариант 2. Задания 1-3. Решение appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Задание 1. Показания счётчика электроэнергии 1 марта составляли 58 134 кВт•ч, а 1 апреля — 58 234 кВт•ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за март, если 1 кВт•ч электроэнергии стоит 3 руб. 93 коп.? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Сначала вычислим объем потребленной электроэнергии за март, получим:

58 234 — 58 134 = 100 кВт•ч.

Так как один кВт•ч стоит 3 руб. 93 коп (то есть 3,93 рубля), то за март нужно заплатить

3,93•100=393 рубля.

Ответ: 393.

Задание 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по приведённой диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в период с января по июнь 1994 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.

Так как среднемесячная температура откладывается по вертикали, то на графике нужно выбрать столбик наибольшей высоты в первой половине года, то есть с января по июнь. Из графика видно, что максимальная температура соответствует месяцу июнь и составляет половину интервала от 12 до 16 градусов, то есть равна (12+16):2 = 14 градусам.

Ответ: 14.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение.

Площадь треугольника будем искать по формуле

,

где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).

Из рисунка видно, что длина красной линии (высоты) равна h=6 клеток, а длина основания (синей линии) a=5 клеток. Подставляя эти значения в формулу площади, имеем:

.

Ответ: 15.

The post И.В. Ященко.Математика ЕГЭ 2017. 36 вариантов.Вариант 1. Задания 1-3. Решение appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Казалось бы, задачи с кратким ответом, на которые в процессе экзамена отводится всего 40-50 минут, должны быть простые и быстро решаемые. Почему же выпускники тратят на них много времени и делают ошибки?

Почему возникают сложности с «простыми» задачами, если их решение отрабатывалось в течение 1-2 лет?

Потому что на ЕГЭ в части 1 нередко попадаются такие задания, что даже учителям приходится поломать голову.

Это задачи-ловушки, «хитрые» задачи, задачи с запутанным условием, нестандартные задачи… Все сразу вспомили свои встречи с такими задачами, да? И каково их было решать? Когда ожидаешь простую задачу, а попадается такая вот непредвиденная, нетрудно растеряться. А на экзамене это недопустимо. Обидно, если баллы теряются именно на задачах с кратким ответом! Но у вас еще есть время хорошенько потренироваться в решении таких заковыристых задачек.

Хочу представить вам совершенно новую книгу, в которой собраны избранные задания ЕГЭ по математике профильного уровня. 188 непростых задач с кратким ответом в одном сборнике «Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике. Профильный уровень».

Данная книга — электронная, в формате pdf. Она будет полезна как учителям и репетиторам, желающим качественно подготовить своих подопечных к сдаче ЕГЭ, так и ученикам, стремящимся получить максимальные баллы по математике.

Какие именно задачи включены в сборник?

— задачи с ловушками;

— задачи более высокого уровня сложности относительно других заданий входящих в эту же группу задач;

— задачи, требующие предельной внимательности;

— задачи «не очень стандартные».

Книга написана доступным, простым языком. В некоторых заданиях приводится по два подхода к решению.

Стоимость книги всего 555 рублей!

Вы можете посмотреть демо версию книги

Купить книгу >>

The post «Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике. Профильный уровень» appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Скачать сборник (Яндекс.Диск)

Для начала хотим представить Вам совершенно новую книгу, в которой собраны избранные задания ЕГЭ по математике профильного уровня. 188 непростых задач с кратким ответом в одном сборнике «Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике. Профильный уровень».

Сборник содержит:

• 30 вариантов заданий;
• 800 заданий части 2;
• Ответы и решение одного варианта;
• Критерии оценок;
• Бланки ответов.

Назначение пособия — предоставить читателям информацию о структуре и содержании контрольных измерительных материалов по математике профильного уровня, степени трудности заданий.

В сборнике даны ответы на все варианты тестов, приводятся решения всех заданий части 2 одного из вариантов, а также ответы на все задания части 2 главы II книги.

Кроме того, приведены образцы бланков, используемых на ЕГЭ для записи ответов и решений.

Пособие может быть использовано учителями для подготовки учащихся к экзамену по математике в форме ЕГЭ, а также старшеклассниками и выпускниками — для самоподготовки и самоконтроля.

Глава I книги содержит 30 вариантов комплектов типовых тестовых заданий по математике, составленных с учетом всех особенностей и требований Единого государственного экзамена по математике профильного уровня 2017 года.

В главе II книги отдельно представлены качественная информация о заданиях части 2 и обширная подборка задач части 2, скомпонованных по всем темам школьной математики.

Авторы пособия — ведущие специалисты, принимающие непосредственное участие в разработке методических материалов для подготовки к выполнению контрольных измерительных материалов ЕГЭ.

Список авторов:

И. В. Ященко, М. А. Волчкевич, И. Р. Высоцкий, Р. К. Гордин, П. В. Семёнов, О. Н. Косухин, Д. А. Фёдоровых, А. И. Суздальцев, А. Р. Рязановский, И. Н. Сергеев, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль;

Под редакцией:

И. В. Ященко

Скачать сборник (Яндекс.Диск)

The post ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 скачать appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.