1. a) Метод прямой подстановки.

Идея метода. Выбирается уравнение, в котором одна из переменных наиболее просто выражается через остальные переменные. Полученное выражение этой переменной подставляется в оставшиеся уравнения системы.

1. b) Комбинирование с другими методами.

Идея метода. Если метод прямой подстановки не применим на начальном этапе решения, то используются равносильные преобразования систем (почленное сложение, вычитание,   умножение, деление), а затем проводят непосредственно прямую подстановку.

2) Метод независимого решения одного из уравнений.

Идея метода. Если в системе содержится уравнение, в котором находятся взаимно обратные выражения, то вводится новая переменная и относительно её решается уравнение. Затем система распадается на несколько более простых систем.

Решить систему уравнений

Рассмотрим первое уравнение системы:

Сделав замену    , где  t ≠ 0, получаем  

Откуда t₁ = 4, t₂ = 1/4.

Возвращаясь к старым переменным, рассмотрим два случая.

Корнями уравнения  4у² – 15у – 4 = 0   являются   у₁ = 4, у₂ = — 1/4 .

Корнями уравнения   4х² + 15х – 4 = 0 являются  х₁ = — 4, х₂ =   1/4 .

3)Сведение системы  к объединению более простых систем.

1. a) Разложение на множители способом вынесения общего множителя.

Идея метода. Если в одном из уравнений есть общий множитель, то это уравнение раскладывают на множители и, учитывая равенство выражения нулю,  переходят к решению более простых систем.

1. b) Разложение на множители через решение однородного уравнения.

Идея метода. Если  одно из уравнений представляет собой однородное уравнение ( , то решив его относительно одной из переменных, раскладываем на множители, например:  a(x-x₁)(x-x₂) и, учитывая равенство выражения нулю,  переходим к решению более простых систем.

Решим первую систему   

1. c) Использование однородности.

Идея метода. Если в системе есть выражение, представляющее собой произведение переменных величин, то  применяя метод алгебраического сложения, получают однородное уравнение, а затем используют метод разложение на множители через решение однородного уравнения.

4) Метод алгебраического сложения.

Идея метода. В одном из уравнений избавляемся от одной из неизвестных, для этого уравниваем модули коэффициентов при одной из переменных, затем производим или почленное сложение уравнений, или вычитание.

5) Метод умножения уравнений.

Идея метода. Если нет таких пар (х;у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить произведением обоих уравнений системы.

Решим второе уравнение системы.

Пусть  = t, тогда  4t³ + t² -12t -12 = 0.  Применяя следствие из теоремы о корнях многочлена, имеем t₁ = 2.

Р(2) = 4∙2³ + 2² — 12∙2 – 12 = 32 + 4 — 24 — 12 = 0. Понизим степень многочлена, используя метод неопределенных коэффициентов.

4t³ + t² -12t -12 = (t – 2) (at² + bt + c).

4t³ +t² -12t -12 = at³ + bt² + ct — 2at² -2bt — 2c.

4t³ + t² — 12t -12 = at³ + (b – 2a) t² + (c -2b) t — 2c.

Получаем уравнение 4t² + 9t + 6 = 0, которое не имеет корней, так как D = 9²— 4∙4∙6 = -15<0.

Возвращаясь к переменной у, имеем  = 2, откуда у = 4.    

Ответ. (1;4).

6) Метод деления уравнений.

 Идея метода. Если нет таких пар (х; у), при которых обе части одного из уравнений обращаются в ноль одновременно, то это уравнение можно заменить уравнением, которое получается при делении одного уравнения системы на другое.

7) Метод введения новых переменных.

 Идея метода. Некоторые выражения от исходных переменных принимаются за новые переменные, что приводит к более простой, чем первоначальная, системе от этих переменных. После того как новые переменные будут найдены, нужно найти значения исходных переменных.

Возвращаясь к старым переменным, имеем:

Решаем первую систему.

8) Применение теоремы Виета.

Идея метода. Если система составлена так, одно из уравнений представлено в виде суммы, а второе — в виде произведения некоторых чисел, которые являются корнями некоторого квадратного уравнения, то применяя теорему Виета составляем квадратное уравнение и решаем его.

Ответ.  (1;4),   (4;1).

Для решения симметричных систем применяется подстановка: х + у = а; ху = в.  При решении симметричных систем используются следующие преобразования:

х² + у² = (х + у)² – 2ху = а² – 2в;      х³ + у³ = (х + у)(х² – ху + у²) = а(а² -3в);

х²у + ху² = ху (х + у) = ав;        (х +1)∙(у +1) = ху +х +у+1 =а + в +1;

Ответ.  (1;1), (1;2), (2;1).

10) «Граничные задачи».

Идея метода. Решение системы получаются путем логических рассуждений, связанных со структурой области определения или множества значений функций, исследование знака дискриминанта квадратного уравнения.

Особенность этой системы в том, что число переменных в ней больше числа уравнений. Для нелинейных систем такая особенность часто является признаком «граничной задачи». Исходя из вида уравнений, попытаемся найти множество значений функции , которая встречается и в первом, и во втором уравнении системы. Так как  х² + 4 ≥ 4, то из первого уравнения следует, что

Ответ (0;4;4),  (0;-4;-4).

11) Графический метод.

Идея метода. Строят графики функций в одной системе координат и находят координаты точек их пересечения.

1) Переписав первое уравнение систем в виде у = х²,  приходим к выводу: графиком уравнения является парабола.

2) Переписав второе уравнение систем в виде у =2/х² , приходим к выводу: графиком уравнения является гипербола.

3) Парабола и гипербола пересекаются в точке А. Точка пересечения только одна, поскольку правая ветвь параболы служит графиком возрастающей функции, а правая ветвь гиперболы — убывающей. Судя по построенной геометрической модели  точка А имеет координаты (1;2). Проверка показывает, что пара (1;2) является решением обоих уравнений системы.

Ответ (1;2).

The post Методы решения систем нелинейных уравнений. Алгебра appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Для треугольника всегда существует одна и только одна вписанная (касающаяся трёх сторон) и одна описанная (проходящая через вершины) окружность. Также для треугольника существуют три окружности, касающихся одной стороны и продолжений двух других сторон — вневписанные окружности.

Ниже представлены  формулы для нахождения площади треугольника.

The post Формулы площади треугольника appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Но факт остаётся фактом и при том пренеприятным. Да! Порой сразу после экзамена наступает озарение – ту же осознаются ошибки и хочется ударить от негодования по рядом стоящему дереву, но что толку. Драгоценные баллы уже бездарно потеряны …

Даже подготовленные ребята, допускают «смешные» ошибки, или на несложном примере теряют неоправданно много времени. Почему? Как говориться – есть причины и нюансы.

Разберём несколько «хитреньких» заданий. Конечно, на самом деле никаких ловушек для вас составители задач не планировали, просто так их называют в быту.

В этой статье сделан акцент на некоторых из них отдельно. Они просты, но почему-то при решении ребята частенько ошибаются. Итак!

26644. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

Обратите внимание, что 9570 рублей это зарплата после удержания 13%. Значит разделив 9570 на 87 мы узнаем сколько рублей соответствуют 1 проценту, далее остаётся умножить полученный результат на 100, и мы определим заработную плату до удержания:

Многие привыкли решать через составление пропорции.

Всю зарплату (а она нам неизвестна) – это х рублей принимаем за 100%.  9570 рублей это зарплата после удержания и соответствует она 87 процентам. Пропорция:

9570  рублей     —    87%

х    рублей         —  100 %

Вычисляем:

Ответ: 11000

*В чём допускают ошибку и почему?

Многие очень привыкли к типу заданий, где данная в условии величина есть именно та, которую нужно принять за 100 процентов. И начинают «придумывать» такие пропорции как:

9570  рублей     —    100%

х    рублей        —    87 %

В результате получают величину меньше 9570 и записывают её как ответ. Просто оцените изначально – если сказано, что это зарплата после удержания, то понятно, что в итоге мы должны получить число больше чем 9750.

77349. В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

25 процентов от 60 это:

Значит в октябре виноград стал стоить 60+15=75 рублей.

20 процентов от 75 это:

Значит в ноябре он стал стоить 75+15=90 рублей.

*Можно решить используя следующую форму записи (суть одна):

Определим цену килограмма после первого подорожания:

Определим цену после второго подорожания, при чём считать будем уже относительно цены 75 рублей:

Ответ: 90

*В чём допускают ошибку?

После первого подорожания считают, что второе  подорожание происходит относительно начальной цены в 60 рублей. И получают, что второй раз цена выросла на

В итоге получают 75+12=87 рублей.

Ребята, забудьте про начальную цену! Всё: второе подорожание происходит относительно 75 рублей. Это вроде бы и понятно, но начинаем чудить зачем-то.

77368. Решите уравнение

Используем формулу квадрата суммы (разности) двух чисел (выражений):

Вычисляем:

Проверка:

Верно.

Ответ: -1,5

*Что сказать?…

После того, как пример появился перед глазами, так и хочется приравнять выражения стоящие под знаками квадратов (и некоторые это делают):

Что получаем? Решения нет! Как нет? Так не бывает… И начинаем думать – как  же так? Может составители заданий ошиблись? А то и паника начинается.

Если видите, что у вас квадраты выражений, то сразу применяйте формулы сокращённого умножения.

Кстати, такая ошибка чревата. Будет у вас например задание:

Решить (2х+5)²=(6х+1)². Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Приравняете вы выражения под корнями и получите 1.  А верным ответом является совсем другое число.

**Есть ещё вариант решения. Можно перенести выражение стоящее справа в левую сторону и использовать формулу разности квадратов:

77382. Решите уравнение log_х–549=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Всё вроде бы просто. По свойству логарифма:

Решаем квадратное уравнение:

*Можно было сразу определить, что выражение, стоящее под знаком квадрата равно 7 или –7, так как только эти два числа  при возведении в квадрат дают 49 и решить можно было так:

корни равны 12 и –2.

Важно! Обратите внимание, что при х = –2 основание логарифма имеет отрицательное значение (известно, что его основание должно быть положительным).  Если вы просто выберите меньший корень не проверив его по условию определения логарифма, то ответ запишите не верным. Решением является корень 12.

Ответ: 12

*В чём допускают ошибку? Не проверяют корни на соответствие условию логарифма. Получили два корня и выбрали меньший из них, и ошибка получилась.

27437. В параллелограмме АВCD sin A = (√21)/5. Найдите cos B.

Известно, что синусы смежных углов равны. Значит синусы двух любых соседних  углов параллелограмма равны, то есть:

Теперь из основного тригонометрического тождества остаётся найти cos B. Из sin²B+cos²B=1 следует, что

*Перед корнем мы поставили знак «–». Почему?

Из рисунка видно, что угол В тупой (он больше 90 градусов).  А  косинус  угла  от 90 до 180 градусов  отрицателен (см. тригонометрическую окружность).

*В чём допускают ошибку?

Перед  корнем упускают знак минус, и получают положительное число. Это происходит из-за того, что основное тригонометрическое тождество часто используется при решении прямоугольного треугольника и мы настолько привыкаем, что перед корнем у нас стоит плюс, что видимо это как-то отпечатывается в сознании.

**Понятно, в прямоугольном треугольнике углы острые, поэтому и значения тригонометрических функций углов положительны. Но вы помните! При выражении числа (выражения) стоящего под знаком квадрата перед корнем всегда будет «±» и что касается тригонометрического тождества, получим:

То есть сразу при прочтении условия смотрите, какую тригонометрическую функцию какого угла (острого или тупого) нужно найти.

Если это тупой угол, то косинус, тангенс и котангенс должны получиться отрицательными.

Если это острый угол, то все тригонометрические функции должны быть положительными.

Ответ: –0,4

В следующем задании никаких хитростей нет, но оно вызывает вопросы. Не паникуйте! Помните, что практически все логарифмические уравнения решаются через применение основных свойств логарифма.

315121. Найдите корень уравнения

Скажите, кому из вас знакомо свойство:

Если знакомо, то отлично! Вы можете использовать его смело:

И далее

*Только не забудьте о том, что выражение стоящее под знаком логарифма больше нуля, то есть проверьте корень.

А как быть если это свойство вы не знаете? Решаем по шагам используя «обычные» свойства (они вам должны быть знакомы):

Проверим выражение под знаком логарифма:

Ответ: 6

Ещё есть ряд задач без каких-то там «хитростей». И вероятность того, что вам они на ЕГЭ попадут мала, но она есть. Данные формулы в школьном курсе используются редко, поэтому имейте их ввиду.

27923. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Применим формулу радиуса окружности описанной около треугольника:

Площадь вычислим по формуле Герона:

Значит:

Вычисляем полупериметр:

Таким образом:

Ответ: 25

*Площадь треугольника также можно определить вычислив высоту опущенную из вершины С. Указанную высоту можно найти используя теорему Пифагора.

**Также зная данную высоту можно найти синус угла А, и далее для вычисления радиуса использовать следствие из теоремы синусов.

Но формулы указанные ниже помнить нужно!

1. Площадь треугольника (формула Герона):

2. Формула радиуса описанной окружности:

3. Формула радиуса вписанной окружности:

Данные задания включены в книгу «Самые хитрые задачи ЕГЭ по математике». Там собрано более 180 заданий, которым следует уделить особое внимание. Рекомендуем к изучению!

The post Задачи-ловушки на ЕГЭ по математике appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Во-первых, готовиться к ЕГЭ и ОГЭ нужно начинать с 7 класса. Но, если для вас это уже не актуально, не будем читать мораль.

Итак, СОВЕТ 1 : ПОСТАВЬТЕ ЦЕЛЬ.

Определите, что нужно именно вам. Куда вы поступаете? Сколько баллов вам надо набрать? Сколько задач решить?

Ответ на этот вопрос у каждого свой.

С  2015 года экзамен по математике разделили на базовый и профильный. Подумайте: устроит ли вас ситуация, когда отрешав 4 часа не совсем лёгкие( скажем так) задачи вы не получите сертификат? Если нет — будем говорить только о профильном уровне.

СОВЕТ 2: Начинайте как можно раньше.

Помните, что основной фактор успеха — время. По-хорошему, на подготовку к ЕГЭ по математике нужно полтора года. Все основное желательно пройти в 10-м классе, чтобы в 11-м заниматься отработкой типов экзаменационных задач.

Можно успеть подготовиться за один учебный год. Меньше – рискованно.

СОВЕТ 3: Нужна система, а не прорешивание тестов.

В обучении необходима система. Мы легко воспринимаем информацию, обладающую структурой и смыслом. Мы намного лучше запоминаем то, что нам понятно. Критерий успеха – когда вы самостоятельно решаете любые экзаменационные задачи по пройденным темам.

СОВЕТ4:. Будьте ответственны.

Как только вы начнете заниматься – возникнет множество соблазнов делать что-то другое. Вместо интенсива по математике – поехать на недельку к любимой тете. Вместо домашнего задания – в сотый раз отрепетировать выступление на «Последнем звонке». Вместо занятия с преподавателем – весело отдохнуть с друзьями.

Вам постоянно придется выбирать – что для вас важнее.

Формулы и основные понятия учите сразу. Не откладывайте на «потом». Используйте каждый шанс. Если есть возможность задать вопрос учительнице — сразу задайте его.

Считайте без калькулятора и обходитесь без шпаргалок. Рассматривайте каждую контрольную в школе и каждое домашнее задание — как тренировку перед экзаменом.

Постоянно проверяйте свои знания. Особенно, если готовитесь самостоятельно. Например, вы разобрались с темой «Тригонометрия». Возьмите чистый лист, по памяти выпишите определения синуса и косинуса, а также все тригонометрические формулы. Постройте графики тригонометрических функций. Решите подборку задач из Банка заданий ФИПИ (часть В) и подборку заданий С1. Если все сделано правильно – значит, вы освоили тему.

УДАЧИ на экзамене!

The post Как сдать ЕГЭ по математике appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Изучив эту тему, Вы должны уметь находить область определения различных функций, определять с помощью графиков промежутки монотонности функции, исследовать функции на четность и нечетность.

Определение :

Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Способы задания функции:

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);
2. табличный способ (с помощью таблицы);
3. описательный способ (с помощью словесного описания);
4. графический способ (с помощью графика).

The post Алгебра — основные свойства функций appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Решение.

Так как всего 3 прыгуна из Голландии, а всего спортсменов 30, то вероятность того, что прыгун из этой страны будет выступать под каким-либо номером, в том числе и под восьмым, равна

.

Ответ: 0,1.

Задание 5. Найдите корень уравнения .

Решение.

1. Запишем ОДЗ уравнения, очевидно, что

2. Для решения уравнения, возведем обе его части в квадрат, получим:

Данное решение удовлетворяет ОДЗ.

The post И.В. Ященко.Математика ЕГЭ 2017. 36 вариантов.Вариант 1. Задания 4-5. Решение appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Решение.

Известны значения счетчика на первое мая и первое июня, следовательно, расход электроэнергии за май составил

37 292 — 37 192 = 100 кВт • ч.

Так как стоимость одного кВт • ч равна 4,17 рубля, то затраты на электроэнергию за май, равны

4,17•100=417 рублей.

Ответ: 417.

Задание 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по приведённой диаграмме наименьшую среднемесячную температуру в период с января по июнь 1994 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.

Наименьшая среднемесячная температура будет соответствовать столбику наименьшей высоты (так как температура откладывается по вертикали). Чтобы определить наименьшую температуру с января по июнь, нужно найти наименьший столбик в этом диапазоне месяцев. Из рисунка видно, что в указанном диапазоне, минимальная среднемесячная температура приходится на февраль и равна середине интервала от -12 до -16, то есть (-12-16):2=-14 градусов.

Ответ: -14.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение.

Вычислим площадь треугольника по формуле , где a – длина основания (синяя линия) треугольника, на которое проведена высота; h – высота треугольника (красная линия).

Из рисунка видно, что длина основания равна a=2 клетки, а высота h=6 клеток. Подставляя эти значения в формулу площади треугольника, имеем:

.

Ответ: 6.

The post И.В. Ященко.Математика ЕГЭ 2017. 36 вариантов.Вариант 2. Задания 1-3. Решение appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Задание 1. Показания счётчика электроэнергии 1 марта составляли 58 134 кВт•ч, а 1 апреля — 58 234 кВт•ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за март, если 1 кВт•ч электроэнергии стоит 3 руб. 93 коп.? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Сначала вычислим объем потребленной электроэнергии за март, получим:

58 234 — 58 134 = 100 кВт•ч.

Так как один кВт•ч стоит 3 руб. 93 коп (то есть 3,93 рубля), то за март нужно заплатить

3,93•100=393 рубля.

Ответ: 393.

Задание 2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по приведённой диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в период с января по июнь 1994 года включительно. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.

Так как среднемесячная температура откладывается по вертикали, то на графике нужно выбрать столбик наибольшей высоты в первой половине года, то есть с января по июнь. Из графика видно, что максимальная температура соответствует месяцу июнь и составляет половину интервала от 12 до 16 градусов, то есть равна (12+16):2 = 14 градусам.

Ответ: 14.

Задание 3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение.

Площадь треугольника будем искать по формуле

,

где a – длина основания, к которому опущена высота (синяя линия); h – высота треугольника (красная линия).

Из рисунка видно, что длина красной линии (высоты) равна h=6 клеток, а длина основания (синей линии) a=5 клеток. Подставляя эти значения в формулу площади, имеем:

.

Ответ: 15.

The post И.В. Ященко.Математика ЕГЭ 2017. 36 вариантов.Вариант 1. Задания 1-3. Решение appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Казалось бы, задачи с кратким ответом, на которые в процессе экзамена отводится всего 40-50 минут, должны быть простые и быстро решаемые. Почему же выпускники тратят на них много времени и делают ошибки?

Почему возникают сложности с «простыми» задачами, если их решение отрабатывалось в течение 1-2 лет?

Потому что на ЕГЭ в части 1 нередко попадаются такие задания, что даже учителям приходится поломать голову.

Это задачи-ловушки, «хитрые» задачи, задачи с запутанным условием, нестандартные задачи… Все сразу вспомили свои встречи с такими задачами, да? И каково их было решать? Когда ожидаешь простую задачу, а попадается такая вот непредвиденная, нетрудно растеряться. А на экзамене это недопустимо. Обидно, если баллы теряются именно на задачах с кратким ответом! Но у вас еще есть время хорошенько потренироваться в решении таких заковыристых задачек.

Хочу представить вам совершенно новую книгу, в которой собраны избранные задания ЕГЭ по математике профильного уровня. 188 непростых задач с кратким ответом в одном сборнике «Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике. Профильный уровень».

Данная книга — электронная, в формате pdf. Она будет полезна как учителям и репетиторам, желающим качественно подготовить своих подопечных к сдаче ЕГЭ, так и ученикам, стремящимся получить максимальные баллы по математике.

Какие именно задачи включены в сборник?

— задачи с ловушками;

— задачи более высокого уровня сложности относительно других заданий входящих в эту же группу задач;

— задачи, требующие предельной внимательности;

— задачи «не очень стандартные».

Книга написана доступным, простым языком. В некоторых заданиях приводится по два подхода к решению.

Стоимость книги всего 555 рублей!

Вы можете посмотреть демо версию книги

Купить книгу >>

The post «Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике. Профильный уровень» appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.

Скачать сборник (Яндекс.Диск)

Для начала хотим представить Вам совершенно новую книгу, в которой собраны избранные задания ЕГЭ по математике профильного уровня. 188 непростых задач с кратким ответом в одном сборнике «Самые хитрые задачи на ЕГЭ по математике. Профильный уровень».

Сборник содержит:

• 30 вариантов заданий;
• 800 заданий части 2;
• Ответы и решение одного варианта;
• Критерии оценок;
• Бланки ответов.

Назначение пособия — предоставить читателям информацию о структуре и содержании контрольных измерительных материалов по математике профильного уровня, степени трудности заданий.

В сборнике даны ответы на все варианты тестов, приводятся решения всех заданий части 2 одного из вариантов, а также ответы на все задания части 2 главы II книги.

Кроме того, приведены образцы бланков, используемых на ЕГЭ для записи ответов и решений.

Пособие может быть использовано учителями для подготовки учащихся к экзамену по математике в форме ЕГЭ, а также старшеклассниками и выпускниками — для самоподготовки и самоконтроля.

Глава I книги содержит 30 вариантов комплектов типовых тестовых заданий по математике, составленных с учетом всех особенностей и требований Единого государственного экзамена по математике профильного уровня 2017 года.

В главе II книги отдельно представлены качественная информация о заданиях части 2 и обширная подборка задач части 2, скомпонованных по всем темам школьной математики.

Авторы пособия — ведущие специалисты, принимающие непосредственное участие в разработке методических материалов для подготовки к выполнению контрольных измерительных материалов ЕГЭ.

Список авторов:

И. В. Ященко, М. А. Волчкевич, И. Р. Высоцкий, Р. К. Гордин, П. В. Семёнов, О. Н. Косухин, Д. А. Фёдоровых, А. И. Суздальцев, А. Р. Рязановский, И. Н. Сергеев, В. А. Смирнов, А. В. Хачатурян, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль;

Под редакцией:

И. В. Ященко

Скачать сборник (Яндекс.Диск)

The post ЕГЭ 2017. Математика. Профильный уровень. 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2 скачать appeared first on Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ.